Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $\left(\text{S}\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-1=0$và mạt phẳng (P): x + y + 2z + 5 = 0. Lấy điểm A di động trên (S) và điểm B di động trên (S) sao cho $\overrightarrow{A\text{B}}$ cùng phương $\overrightarrow{a}=\left(-2;1;-1\right)$. Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn AB.

Chọn B

+) (S) có tâm I(1;1;1), bán kính R = 2.

+) (P) có VTPT $\overrightarrow{n}=\left(1;1;2\right)$, đường thẳng AB có VTVP $\overrightarrow{a}=\left(-2;1;-1\right)$.

+) Ta có $\sin \left(AB;\left(P\right)\right)=\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa AB và (P) bằng 300.

+) Gọi H là hình chiếu của (P). A trên (P). Ta có AB = 2.AH. Do đó AB max khi và chỉ khi AH max

$AHmax=\text{d}\left(\text{I};\left(\text{P}\right)\right)+\text{R}=2+\frac{3\sqrt{6}}{2}\cdot$

+) Vậy $ABmax=4+3\sqrt{6}$