Biết x, y là các số thực thỏa mãn 10 ^ 2x + 3 - y^2 lớn hơn bằng a ^ 2x - log a với mọi số thực a > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x + 4y

A. 10

B. 13

C. 25

D. 8

Trả lời

Chọn A

${10}^{2x+3-y^2}\ge a^{2x-\log a}\iff 2x+3-y^2\ge \left(2x-\log a\right)\log a\iff {\log }^{2}a-2x\log a+2x+3-y^2\ge 0$

Đặt $t=\log a$ ta được bất phương trình $t^2-2xt+2x+3-y^2\ge 0$

Để bất phương trình đúng với mọi số thực a > 0.

Điều kiện là $\Delta \text{'}\le 0\iff x^2-2x-3+y^2\le 0\iff {\left(x-1\right)}^2+y^2\le 4$.

$P=3x+4y=3\left(x-1\right)+4y\Rightarrow P^2\le \left[3^2+4^2\right]\left[{\left(x-1\right)}^2+y^2\right]\le 25.4\Rightarrow P\le 10.$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\right.$