Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân tại A và góc BAC = 120 độ, cạnh bên AA' = a, góc giữa A'B và mặt phẳng (ABC) bằng 60o

A. $\frac{\sqrt{13}}{12}{a}^3$

B. $\frac{\sqrt{3}}{36}{a}^3$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^3$

D. $\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^3$

Trả lời

Chọn A

$A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABC\right)\Rightarrow \left(\widehat{A{A}^{\text{'}},\left(ABC\right)}\right)=\widehat{A^{\text{'}}BA}={60}^o$

Xét tam giác vuông ABA' có: $AB=A{A}^{\text{'}}\cot \widehat{AB{A}^{\text{'}}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A{A}^{\text{'}}.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}A{A}^{\text{'}}.AB.AC.\sin {120}^o=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$