Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y - z + 2 = 0 và hai điểm A(3;4;1), B(7;-4;-3).

A. T = -1

B. T = -2

C. T = 0

D. T = 3

Trả lời

Đáp án đúng là: B

Ta có $S_{\Delta MAB}=\frac{1}{2}d\left(M;AB\right).AB$ . (AB  không đổi)

 $\Rightarrow S_{\Delta MAB}$ nhỏ nhất $\iff$$d\left(M;AB\right)$  là nhỏ nhất $\Rightarrow$$M\in \Delta =\left(P\right)\cap \left(Q\right)$ với (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (P).

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(4;-8;-4\right)=4\left(1;-2;-1\right)=4\overrightarrow{u}$ ; mp(P)  có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=\left(1;1;-1\right)$ .

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(3;4;1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u};\overrightarrow{n_P}\right]=\left(3;0;3\right)$  có phương trình là: $x+z-4=0$ .

Vì $\Delta$  là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) ta có: 

$\Delta :\left\{\begin{array}{l}x+z-4=0\\ x+y-z+2=0\end{array}\right.\Rightarrow \Delta :\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2-2t\\ z=4-t\end{array}\right.$

Do $m\in \Delta$  nên $M\left(t;2-2t;4-t\right)$  (với t > 2).

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(t-3;-2t-2;-t+3\right)$ , $\overrightarrow{BM}=\left(t-7;-2t+6;-t+7\right)$ .

$\Delta ABM$ vuông tại M $\Rightarrow$$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0\iff 6t^2-28t+30=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{5}{3}\left(l\right)\\ t=3\left(tm\right)\end{array}\right.$ 

Với $t=3$$\Rightarrow$$M\left(3;-4;1\right)$ .

Vậy $T=a+b-c=-2$ .