Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, thỏa mãn f'(x) = f(x_ -8 + 16x - 4x^2 và f(0) = 0. Thể tích khối tròn xoay

A. $\frac{16}{3}\pi$

B. $\frac{256}{15}$

C. $\frac{16}{3}$

D. $\frac{256}{15}\pi$

Trả lời

Đáp án đúng là: D

Ta có:$f^{\text{'}}\left(x\right)-f\left(x\right)=-8+16x-4x^2$

$\iff e^{-x}{f}^{\text{'}}\left(x\right)-e^{-x}f\left(x\right)=e^{-x}\left(-8+16x-4x^2\right)$

$\iff {\left[f\left(x\right)e^{-x}\right]}^{\text{'}}=e^{-x}\left(-8+16x-4x^2\right)$

$\Rightarrow f\left(x\right)e^{-x}=\int e^{-x}\left(-8+16x-4x^2\right)=\left(4x^2-8x\right)e^{-x}+C$

$\Rightarrow f\left(x\right)=4x^2-8x+C{e}^x$

Mà $f\left(0\right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left(x\right)=4x^2-8x$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $y=f\left(x\right)=4x^2-8x$  và trục hoành:

$4x^2-8x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

Khi đó thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox quay quanh Ox: $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(4x^2-8x\right)}^2\text{d}x=\frac{256}{15}\pi .$