Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 60 độ

A. $\frac{7a^3\sqrt{42}}{3}$

B. $\frac{7a^3\sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a^3\sqrt{42}}{3}$

D. $\frac{a^3\sqrt{6}}{3}$

Trả lời

Đáp án đúng là: A

Đặt $AB=x,x>0$$\Rightarrow AC=x\sqrt{2}$ .

Ta có $SA\perp \left(ABCD\right)$$\Rightarrow \left(SC,\left(ABCD\right)\right)=\left(SC,AC\right)=\widehat{SCA}$

$\Rightarrow \widehat{SCA}=60°$$\Rightarrow SA=AC\tan \widehat{SCA}=x\sqrt{6}$ .

Kẻ $AH\perp SB,H\in SB$  có

$\left.\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right\}\Rightarrow BC\perp AH$.

Mà $AH\perp SB$$\Rightarrow AH\perp \left(SBC\right)$$\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=AH$$\Rightarrow AH=a\sqrt{6}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta SAB$  vuông tại A, AH là đường cao ta có:\

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}$$\iff \frac{1}{6a^2}=\frac{1}{6x^2}+\frac{1}{x^2}$$\Rightarrow x=a\sqrt{7}$.

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là

$V=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{7}.\sqrt{6}.{\left(a\sqrt{7}\right)}^2=\frac{7a^3\sqrt{42}}{3}$