Biết tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_2}^2\left(x^2-1\right)-{\log }_3\left(x^2-1\right)+{\log }_2\frac{2}{3}{\log }_{3}2\le 0$  là $S=\left[a;b\right]\cup \left[c;d\right]$  với $a<b<c<d$ . Giá trị của biểu thức a + b +c + 2d bằng

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $x^2-a>0\iff \left[\begin{array}{l}x>1\\ x<-1\end{array}\right.$ .

Đặt $t={\log }_2\left(x^2-1\right)$ .

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành $t^2-t{\log }_{3}2+{\log }_{3}2-1\le 0\iff t\in \left[{\log }_{3}2-1;1\right]$ .

Suy ra $\left[\begin{array}{l}\sqrt{2^{\left({\log }_{3}2-1\right)}+1}\le x\le \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}\le x\le -\sqrt{2^{\left({\log }_{3}2-1\right)}+1}\end{array}\right.$ .

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\sqrt{3};-\sqrt{2^{\left({\log }_{3}2-1\right)}+1}\right]\cup \left[\sqrt{2^{\left({\log }_{3}2-1\right)}+1};\sqrt{3}\right]$ .

Vậy $a+b+c+2d=\sqrt{3}$ .