Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn log3(x^2+4y^2+x)+log2(x^2+4y^2)+(x^2-8x+4y^2)/x<=log3(x) + log2(x^2+4y^2+24x)

A. 24

B. 25

C. 22

D. 48

Trả lời

Đáp án đúng là: A

Đặt $t=\frac{x^2+4y^2}{x}$  (t>0 do x > 0  ).

Từ giả thiết $\Rightarrow {\log }_3\left(tx+x\right)+{\log }_2\left(tx\right)+t-8\le {\log }_{3}x+{\log }_2\left(tx+24x\right)$

$\iff {\log }_3\left(t+1\right)+t-8\le {\log }_2\left(\frac{t+24}{t}\right)$

$\iff {\log }_3\left(t+1\right)+t-8-{\log }_2\left(\frac{t+24}{t}\right)\le 0$

Đặt $f\left(t\right)={\log }_3\left(t+1\right)+t-8-{\log }_2\left(\frac{t+24}{t}\right)$ , t > 0 ta có:

$f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{\left(t+1\right)\ln 3}+1-\frac{1}{\left(\frac{t+24}{t}\right)\ln 2}.\left(\frac{-24}{t^2}\right)>0,\forall t>0\Rightarrow f\left(t\right)$ đồng biến.

Mà $f\left(t\right)\le f\left(8\right)=0\Rightarrow 0<t\le 8$

· Với $y=0\Rightarrow t=x\Rightarrow x\in \left\{1;2;\mathrm{...8}\right\}$

Suy ra có 8 cặp số nguyên (x;y)  thỏa mãn.

Ta có $t\le 8\Rightarrow x^2+4y^2\le 8x\Rightarrow {\left(x-4\right)}^2+4y^2\le 16$

$4y^2\le 16\iff -2\le y\le 2$

· Với $y=\pm 2\Rightarrow {\left(x-4\right)}^2\le 0\Rightarrow x=4$

Suy ra có 2 cặp số nguyên (x;y)  thỏa mãn.

· Với  $y=\pm 1\Rightarrow {\left(x-4\right)}^2\le 12\Rightarrow -2\sqrt{3}\le x-4\le 2\sqrt{3}$$\Rightarrow x\in \left\{1;2;\mathrm{...7}\right\}$

Suy ra có 14 cặp số nguyên (x;y)  thỏa mãn.

Vậy có tất cả 8 + 2 + 14 = 24 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.