Cho hàm số $f\left(x\right)=\left|-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}\left(2m+3\right)x^2-\left(m^2+3m\right)x+\frac{2}{3}\right|$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-20;23] để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2)?

Đáp án đúng là: C

Đặt $g\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}\left(2m+3\right)x^2-\left(m^2+3m\right)x+\frac{2}{3}$ , với $m\in ℝ$ .

Ta có $g\left(1\right)=-m^2-2m+\frac{11}{6}$ ; $g\left(2\right)=-2m^2-2m+4$ .

Đạo hàm $g^{\text{'}}\left(x\right)=-x^2+\left(2m+3\right)x-\left(m^2+3m\right)$ , do đó $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=m\\ x=m+3\end{array}\right.$ 

Bảng biến thiên của hàm số g(x)  như sau

Hàm số $f\left(x\right)=\left|g\left(x\right)\right|$  nghịch biến trên khoảng (1;2) nếu một trong các trường hợp sau xảy ra:

Trường hợp 1: $\left\{\begin{array}{l}m\ge 2\\ g\left(2\right)\ge 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge 2\\ -2m^2-2m+4\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ge 2\\ -2\le m\le 1\end{array}\right.\iff m\in \varnothing$ .

Trường hợp 2:$\left\{\begin{array}{l}m\le 1\\ m+3\ge 2\\ g\left(2\right)\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-1\le m\le 1\\ \left[\begin{array}{l}m\ge 1\\ m\le -2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m=1$  (nhận).

Trường hợp 3: $\left\{\begin{array}{l}m+3\le 1\\ g\left(2\right)\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\le -2\\ -2\le m\le 1\end{array}\right.\iff m=-2$  (nhận).

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số $m\in \left[-20;23\right]$  thỏa mãn.