Biết F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên R và thoả mãn tích phân từ 0 đến 4f(x)dx = F(4) - G(0) + 2m , với m > 0.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Trả lời

Đáp án đúng là: A

Theo đề ta có $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(4\right)-G\left(0\right)+2m\Rightarrow F\left(x\right)\left|\underset{0}{\overset{4}{}}\right.=F\left(4\right)-G\left(0\right)+2m$

$\Rightarrow F\left(4\right)-F\left(0\right)=F\left(4\right)-G\left(0\right)+2m\Rightarrow G\left(0\right)-F\left(0\right)=2m$ (1)

Mặt khác, do F(x)  và G(x)  là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên $ℝ$  nên ta có G(x) - F(x) = C (không đổi) với mọi $x\in ℝ$ .(2)

Từ (1) và (2) suy ra $G\left(x\right)-F\left(x\right)=2m>0$ , với mọi $x\in ℝ$ .

Khi đó ta có $S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|G\left(x\right)-F\left(x\right)\right|\text{d}x=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\text{2}m.\text{d}x={\left.2mx\right|}_0^4=8m$ .

Theo đề ta có $8m=8\iff m=1$ .