Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 9 và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 6 = 0; (Q): x - 2y + z + 2023 = 0.

A. $9\sqrt{6}$

B. $20\sqrt{6}$

C. $9+2\sqrt{3}$

D. $11\sqrt{6}$

Trả lời

Đáp án đúng là: B

Xét (S) có tâm I ( -1;2;1) và bán kính R =3.

Ta có: $\text{d}\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|-1+2.2+2.1+6\right|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{11}{3}>R$.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng (P) và $\alpha$ là góc giữa MN và NH.

Vì $\overrightarrow{MN}\perp \left(Q\right)$ nên góc $\alpha$ có số đo không đổi, $\alpha =\widehat{HNM}$.

Ta có $HN=MN.\cos \alpha \Rightarrow MN=\frac{1}{\cos \alpha }.HN$ nên MN lớn nhất $\iff HN$ lớn nhất. $HN=d\left(I,\left(P\right)\right)+R=\frac{20}{3}$.

Lại có $\cos \alpha =\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n_P}\right)\right|=\frac{1}{3\sqrt{6}}$ nên $MN\le \frac{1}{\cos \alpha }HN=\frac{1}{3\sqrt{6}}\cdot \frac{20}{3}=20\sqrt{6}$.