Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;2), trong đó a, b là các số hữu tỷ dương tùy ý và mặt phẳng (P) có phương trình2x – 2y + 1 = 0. Biết rằng (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng $\frac{2}{\sqrt{33}}$. Giá trị của ab bằng:

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm$A\left(a;0;0\right)$, $B\left(0;b;0\right)$, $C\left(0;0;2\right)$ là

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{2}=1$, a, b là các số hữu tỷ dương.

Đặt $m=\frac{1}{a};n=\frac{1}{b}$ ta có phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right):mx+my+\frac{1}{2}z-1=0$.

Vì $a,b$ là các số hữu tỉ dương nên $m>0;n>0$$\overrightarrow{n_{\left(ABC\right)}}\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=0\iff 2m-2n=0\iff m=n$.

Do (ABC) vuông góc với (P) nên $\overrightarrow{n_{\left(ABC\right)}}\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=0\iff 2m-2n=0\iff m=n$.

Ta có $d\left(O,\left(ABC\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{m^2+m^2+\frac{1}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{33}}\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-2\end{array}\right.$.

Kết hợp với điều kiện m > 0  ta chọn m = 2.

Với $m=2\Rightarrow n=2\Rightarrow mn=\frac{1}{ab}=4\Rightarrow ab=\frac{1}{4}$.