Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2+m-3$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[-5;100\right]$ để tam giác OAB có góc OAB không tù (O là gốc tọa độ)?

Đáp án đúng là: D

Ta có $y^{\text{'}}=3x^2+6x$. Từ đó $y^{\text{'}}=3x^2+6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy $A\left(0;m-3\right);B\left(-2;m+1\right);O{A}^2={\left(m-3\right)}^2;O{B}^2=4+{\left(m+1\right)}^2;A{B}^2=20$.

Áp dụng định lí côsin trong $\Delta AOB$ có:  $\cos \widehat{AOB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2.OA.OB}$.

Khi đó để tam giác OAB có góc OAB không tù thì $\cos \widehat{AOB}\ge 0$

Lại có $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[-5;100\right]$ suy ra $m\in \left\{-5;-4;\mathrm{...};-1;3;4;\mathrm{...};100\right\}$.

Vậy có 103 giá trị của m.