Đáp án đúng là: D

Ta có: ABCD là hình thang vuông tại A và D; $AD=CD=a;AB=2a$;

Hơn nữa H là trung điểm của AB do đó ADCH là hình vuông, DHBC là hình bình hành, tam giác BHC vuông cân tại H.

Gọi K là trung điểm của BC. Suy ra $HK\perp BC$

Từ H kẻ $HI\perp SK$

Do $BC\perp HK,BC\perp SH\Rightarrow BC\perp \left(SHK\right)\Rightarrow BC\perp HI$

Mà $HI\perp SK\Rightarrow HI\perp \left(SBC\right)$.

Vậy $d\left(H,\left(SBC\right)\right)=HI$

Tam giác BHC vuông cân tại H với HB = HC = a nên $HK=HB.\frac{\sqrt{2}}{2}=a\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHK ta có:

$\frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{K}^2}=\frac{4}{6a^2}+\frac{4}{2a^2}=\frac{8}{3a^2}\Rightarrow HI=\frac{a\sqrt{6}}{4}$

$d\left(G,\left(SBC\right)\right)=\frac{2}{3}d\left(M,\left(SBC\right)\right)=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}d\left(D,\left(SBC\right)\right)=\frac{1}{3}d\left(H,\left(SBC\right)\right)=\frac{1}{3}HI=\frac{a\sqrt{6}}{12}$.