Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại C, BC = a căn 2 và gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’B’

A. $4\sqrt{2}{a}^3$

B. $\sqrt{2}{a}^3$

C. $2\sqrt{2}{a}^3$

D. $\frac{2\sqrt{6}}{3}{a}^3$

Trả lời

Đáp án đúng là: C

Ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}B{C}^2=a^2;AB=A\text{'}B\text{'}=BC.\sqrt{2}=2a;A\text{'}M=a$

Kẻ $A^{\text{'}}H\perp AM$.

Ta có $C^{\text{'}}M\perp \left(A^{\text{'}}AM\right)\Rightarrow C^{\text{'}}M\perp A^{\text{'}}H$.

Từ đó suy ra $A^{\text{'}}H\perp \left(AM{C}^{\text{'}}\right)\Rightarrow d\left(A^{\text{'}};\left(A{C}^{\text{'}}M\right)\right)=A^{\text{'}}H=\frac{2\sqrt{2}a}{3}$.

Xét tam giác A'AM có $\frac{1}{A^{\text{'}}{H}^2}=\frac{1}{A^{\text{'}}{A}^2}+\frac{1}{A{M}^2}\Rightarrow A^{\text{'}}A=2a\sqrt{2}$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=A^{\text{'}}A\cdot S_{ABC}=2\sqrt{2}{a}^3$.