Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau (sinx)^4 + (cosx)^4 = (3 - cos4x)/4

Bài 18 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

A. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3-\cos 4x}{4}$ .

B. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{4}$ .

C. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{2}$ .

D. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3-\cos 4x}{2}$ .

Trả lời

Đáp án đúng là: B

Ta có sin⁴ x + cos⁴ x = 1 – 2sin² x cos² x (theo Bài 9a)

= 1 – 2 (sin x cos x)² = $1-2{\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)}^2=1-2.\frac{{\sin }^{2}2x}{4}=1-\frac{2\left(1-{\cos }^{2}2x\right)}{4}$

$=1-\frac{2-2{\cos }^{2}2x}{4}=\frac{4-2+2{\cos }^{2}2x}{4}$$=\frac{3+\left(2{\cos }^{2}2x-1\right)}{4}=\frac{3+\cos 4x}{4}$.

Vậy ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{4}$ .