Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x+m}{x+1}$  trên đoạn $\left[1;2\right]$  bằng  8 (với m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Chọn B

Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x+m}{x+1}$  xác định là liên tục trên đoạn $\left[1;2\right]$ .

Với $m=1$ , hàm số trở thành $y=1\Rightarrow \underset{\left[1;2\right]}{\max }f\left(x\right)=\underset{\left[1;2\right]}{\min }f\left(x\right)=1$  (không thỏa).

Với $m\ne 1$ , ta có: $y^{\text{'}}=\frac{1-m}{{\left(x+1\right)}^2}$  . Khi đó hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên $\left[1;2\right]$ .

Suy ra $\left[\begin{array}{l}\underset{\left[1;2\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right);\underset{\left[1;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)\\ \underset{\left[1;2\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(1\right);\underset{\left[1;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(2\right)\end{array}\right.$ ; $f\left(1\right)=\frac{1+m}{2};f\left(2\right)=\frac{2+m}{3}$  .

Theo yêu cầu bài toán, ta có: $\underset{\left[1;2\right]}{\max }f\left(x\right)+\underset{\left[1;2\right]}{\min }f\left(x\right)=8\iff \frac{1+m}{2}+\frac{2+m}{3}=8\iff m=\frac{41}{5}$  .

Vậy $m=\frac{41}{5}$  thỏa yêu cầu bài toán.