Tính thể tích khối chóp S.MNP biết $SM = a\sqrt 3$, $\Delta MNP$ đều, $\Delta SMN$ vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.

D. $\frac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{2}$

Đáp án B

Phương pháp:

+) Gọi I là trung điểm của MN $\Rightarrow SI \bot \left( {MNP} \right)$

+) Tính diện tích tam giác MNP.

+) ${V_{S.MNP}} = \frac{1}{3}SI.{S_{MNP}}$

Cách giải:

$\Delta SMN$ vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi I là trung điểm của MN $\Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)$ và $SI = \frac{{SM}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }}$

$MN = 2SI = 2.a\sqrt {\frac{3}{2}} = a\sqrt 6$

$\Delta MNP$ đều $\Rightarrow {S_{MNP}} = \frac{{M{N^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 6 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{2}$