Trường hợp 3: Nếu $m<-2\Rightarrow$ hàm số $y=\frac{mx-1}{2x+1}$ nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ ; $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$$\Rightarrow$ hàm số $y=\frac{mx-1}{2x+1}$ nghịch biến trên $\left[1;2\right]$.

$\Rightarrow \underset{\left[1;2\right]}{\max }y=y\left(1\right)=3$ hay $\frac{m-1}{3}=3\iff m=10$(loại).

Như vậy m=8 thì hàm số $y=\frac{mx-1}{2x+1}$ thỏa mãn điều kiện $\underset{\left[1;2\right]}{\max }y=3$.