Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x}} \right) - 2 = m\) có nghiệm \(x \ge 1\)

D. \(m \in \left( { - \infty ;3} \right)\)

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi, đặt \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = t,\,\,t \ge 2\)

Cách giải:

    \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x}} \right) - 2 = m\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{{2^2}}}\left( {{{2.5}^x}} \right) - 1 = m\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).1 + {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = m\)

\( \Leftrightarrow \log _2^2\left( {{5^x} - 1} \right) + {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) - 2m = 0\)

Đặt \({\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = t,\,\,t \ge 2\), phương trình trở thành: \({t^2} + t = 2m = 0,\,\,t \ge 2 \Leftrightarrow {t^2} + t = 2m,\,\,t \ge 2\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t,\,\,t \ge 2\) có: \(f'\left( t \right) = 2t + 1 > 0,\,\,\,\forall t \ge 2 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right)\)

Để phương trình (*) có nghiệm thì \(2m \ge 6 \Leftrightarrow m \ge 3\)