Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\left(m-1\right)x^4-2\left(m-3\right)x^2+1$  không có cực đại.

Lời giải:

Ta có  $y^{\text{'}}=4\left(m-1\right)x^3-4\left(m-3\right)x=4x\left[\left(m-1\right)x^2-\left(m-3\right)\right]$

Xét với m=1  : Khi đó $y=4x^2+1$   hàm số không có cực đại. Vậy m=1   thỏa mãn (1)

Xét với $m>1$ : Khi đó hàm số là hàm bậc 4 trùng phương với hệ số $a>0$  để hàm số không có cực đại thì $y^{\text{'}}=0$  chỉ có một nghiệm duy nhất x=0  .

Hay $\left(m-1\right)x^2-\left(m-3\right)=0$  vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x=0 .

 $\iff x^2=\frac{m-3}{m-1}$ vô nghiệm hoặc có nghiệm x=0$\iff \frac{m-3}{m-1}\le 0\iff 1<m\le 3$    (2)

Xét với $m<1$  :  Hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a<0$  luôn có cực đại (3)

Kết luận : Từ (1), (2), (3) ta có để hàm số không có cực đại thì $1\le m\le 3$ .

 Chọn đáp án A.