Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $y = - mx$ cắt đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2$ tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho $AB = BC$.

D. $m \in \left( {1; + \infty } \right)$

Đáp án A

Phương pháp:

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

+) Sử dụng định lí Vi-et.

Cách giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của $y = - mx$ và $y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2$

${x^3} - 3{x^2} - m + 2 = - mx \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + mx - m + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x + m - 2 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Để đường thẳng $y = - mx$ cắt đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - m + 2$ tại ba điểm A,B,C phân biệt thì (2) có 2 nghiệm phân biệt và khác 1

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\1 - 2 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m + 2 > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3$

Khi đó, giả sử (2) có 2 nghiệm ${x_1},\,{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$. Theo Vi ét: ${x_1} + {x_2} = 2$

Mà ${y_1} = - m{x_1},\,\,{y_2} = - m{x_2} \Rightarrow {y_1} + {y_2} = - m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 2m$