Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y= x^3 - 3x^2 - m cắt trục hoành tại đúng một điểm. A. m thuộc ( - vô cùng; 0] [ 2; + vô cùng). B. m thuộc ( - vô cùng; - 4) ( 0; + vô
38
26/04/2024
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m\) cắt trục hoành tại đúng một điểm.
A. \(m \in \left( { - \infty \,;\,0} \right] \cup \left[ {2\,;\, + \infty } \right)\).
B. \(m \in \left( { - \infty \,;\, - 4} \right) \cup \left( {0\,;\, + \infty } \right)\).
C. \(m \in \left( { - \infty \,;\, - 4} \right] \cup \left[ {0\,;\, + \infty } \right)\).
D. \(m \in \left( { - \infty \,;\,0} \right) \cup \left( {2\,;\, + \infty } \right)\).
Trả lời
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m\) và trục hoành:
\({x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = m\) (*)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\).
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0\\x = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = - 4\end{array} \right.\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} - 3{x^2}} \right) = + \infty \).
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m\) cắt trục hoành tại đúng một điểm \( \Leftrightarrow \) Phương trình (*) có đúng một nghiệm.
Do đó từ bảng biến thiên ta được: yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}m < - 4\\m > 0\end{array} \right.\).
