Tìm giá trị lớn nhất M và nhỏ nhất m của hàm số $y = \sin 2x - {\cos ^2}2x + 1$

D. $M = 3;\,\,m = - \frac{3}{4}$

Đáp án C

Phương pháp:

Đặt $\sin 2x = t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]$, khảo sát, tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số với ẩn là t.

Cách giải: $y = \sin 2x - {\cos ^2}2x + 1 = {\sin ^2}2x + \sin 2x$

Đặt $\sin 2x = t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]$, ta có: $y = {t^2} + t = f\left( t \right),\,\,\,y' = 2t + 1,\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}$

Ta có: $f\left( { - 1} \right) = 0,\,\,f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{4},\,\,\,f\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = - \frac{1}{4},\,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = 2$ hay $M = 2;\,\,\,m = - \frac{1}{4}$