Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC

Bài 4 trang 115 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Trả lời

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Vì I là giao điểm của ba đường trung trực và ba đường phân giác (giả thiết)

Nên ba đường phân giác cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác.

Gọi AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung trực của tam giác ABC.

Do đó AM $\perp$BC tại trung điểm M của BC và AM là đường phân giác của $\widehat{BAC};$ 

BN $\perp$ AC tại trung điểm N của AC và BN là đường phân giác của $\widehat{ABC};$ 

CP $\perp$ AB tại trung điểm P của AB và CP là đường phân giác của $\widehat{ACB};$ 

+) Xét $∆$ABM (vuông tại M) và DACM (vuông tại M) có:

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (do AM là đường phân giác của $\widehat{BAC}$),

AM là cạnh chung,

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) (1)

+) Xét $∆$ABN (vuông tại N) và $∆$CBN (vuông tại N) có:

$\widehat{BAN}=\widehat{CBN}$ (do BN là đường phân giác của $\widehat{ABC}$),

BN là cạnh chung,

Do đó $∆$ABN = $∆$CBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = CB (hai cạnh tương ứng) (1)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = AC

Do đó tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 3: Dung tích phổi