Số các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình \(m\left( {\sqrt {1 - } x + \sqrt {1 + x} } \right) - 2\sqrt {1 - {x^2}} = 0\) có nghiệm là:
Đáp án D
Phương pháp:
Đặt \(\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} = t,\,\,t \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right]\)
Cách giải:
Đặt \(\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} = t,\,\,t \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right]\)
Khi đó, \({\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)^2} = {t^2} \Rightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}} = {t^2} - 2\). Phương trình đã cho trở thành:
\(mt - \left( {{t^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} - 2}}{t} = t - \frac{2}{t},\,\,t \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right]\)
Xét hàm số: \(y = t - \frac{2}{t},\,\,t \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right] \Rightarrow y' = 1 + \frac{2}{{{t^2}}} > 0,\,\,\forall t \in \left[ {1;\sqrt 2 } \right]\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\sqrt 2 } \right]} = f\left( 1 \right) = - 1,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\sqrt 2 } \right]} y = f\left( {\sqrt 2 } \right) = 0\)
Để phương trình đã cho có nghiệm thì \( - 1 \le m \le 0 \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\)
Vậy, có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.