Ta có: ${O_1}E \bot SB,\,\,\,{O_2}E \bot SB \Rightarrow {O_1}E//{O_2}E$

Mà ${O_1}E = \frac{1}{2}{O_2}E \Rightarrow {O_1}E$ là đường trung bình của tam giác $S{O_2}F \Rightarrow S{O_1} = {O_1}{O_2} = a + 2a = 3a$

$\Delta SE{O_1}$ vuông tại E $\Rightarrow SE = \sqrt {SO_1^2 - {O_1}{E^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {a^2}} = 2\sqrt 2 a$

Đoạn $SH = S{O_1} + {O_1}{O_2} + {O_2}H = 3a + 3a + 2a = 8a$

$\Delta SE{O_1}$ đồng dạng $\Delta SHB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SH}} = \frac{{{O_1}E}}{{HB}} \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 2 a}}{{8a}} = \frac{a}{{HB}} \Rightarrow HB = 2\sqrt 2 a$