Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là một hypebol có phương trình (x/27)^2 - (y/40)^2 =1  (Hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120m

Vận dụng 2 trang 67 Toán lớp 10 Tập 2: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là một hypebol có phương trình $\frac{x^2}{{27}^2}-\frac{y^2}{{40}^2}=1$ (Hình 9). Cho biết chiều cao của tháp là 120m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng một nửa khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp.

Trả lời

Gọi khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là h thì khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là 2h.

Khi đó chiều cao của tháp là: h + 2h = 3h

Mà chiều cao của tháp là 120m nên ta có: 3h = 120 ⇔ h = 120 : 3 = 40 (m).

Gọi A và B là hai điểm như hình vẽ.

Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm A đến trục hoành hay là tung độ của điểm A.

⇒ y_A = 40.

Vì A thuộc hypebol nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình $\frac{x^2}{{27}^2}-\frac{y^2}{{40}^2}=1$

⇒ $\frac{x_A^2}{{27}^2}-\frac{y_A^2}{{40}^2}=1$

⇔ $\frac{x_A^2}{{27}^2}-\frac{{40}^2}{{40}^2}=1$

⇔ $\frac{x_A^2}{{27}^2}-1=1$

⇔ $\frac{x_A^2}{{27}^2}=2$

⇔ $x_A^2={2.27}^2$

⇔ $x_A=27\sqrt{2}$

⇒ $A\left(27\sqrt{2};40\right)$

Mặt khác điểm A thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ A đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng 27$\sqrt{2}$.

Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm B đến trục hoành hay là tung độ của điểm B.

⇒ y_B = 2h = 2.40 = 80.

Vì B thuộc hypebol nên tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình $\frac{x^2}{{27}^2}-\frac{y^2}{{40}^2}=1$

⇒ $\frac{x_B^2}{{27}^2}-\frac{y_B^2}{{40}^2}=1$

⇔ $\frac{x_B^2}{{27}^2}-\frac{{80}^2}{{40}^2}=1$

⇔ $\frac{x_B^2}{{27}^2}-4=1$

⇔ $\frac{x_B^2}{{27}^2}=5$

⇔ $x_B^2={5.27}^2$

⇔ $x_B=27\sqrt{5}$

⇒ $B\left(27\sqrt{5};80\right)$

Mặt khác điểm B thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ B đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng 27$\sqrt{5}$.

Vậy bán kính đường tròn nóc là 27$\sqrt{2}$ và bán kính đường tròn đáy là 27$\sqrt{5}$.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố