Một đoạn dây thép dài 200(cm) được uốn thành một chiếc khung có dạng như hình vẽ (hai đường cong là hai nữa đường tròn). Khi x thay đổi thì diện tích lớn nhất của hình phẳng thu được gần với giá trị nào sau đây?

Lời giải:

Ta có:   $200=\frac{1}{2}.\pi .6x+\frac{1}{2}.\pi .6x+2y\iff 2y=200-6x\pi \iff y=100-3\pi x$

Suy ra, diện tích hình phẳng thu được là   $S=\frac{1}{2}\pi {\left(3x\right)}^2+\frac{1}{2}\pi {\left(3x\right)}^2+6x\left(100-3x\pi \right)=-9\pi x^2+600x.$

Xét hàm số $S\left(x\right)=-9\pi x^2+600x,x>0\Rightarrow S^{\text{'}}\left(x\right)=-18\pi x+600;S^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=\frac{100}{3\pi }.$

Xét bảng biến thiên:

Vậy $S_{\min }=S\left(\frac{100}{3\pi }\right)\approx 3183\left(c{m}^2\right).$

Chọn đáp án D.