Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0. Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành

Luyện tập 4 trang 39 Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0. 

a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành. 

b) Lập phương trình đường thẳng ∆₀ đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆. 

c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α_∆ và α_∆0. 

d) Gọi M là giao điểm của ∆₀ với nửa đường tròn đơn vị và x₀ là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x₀ và a. Từ đó, chứng minh rằng tanα_∆ = a. 

Trả lời

a) Phương trình trục hoành Ox: y = 0. 

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}y=0\\ y=ax+b\end{array}\right.$. 

Khi đó ta có: ax + b = 0 ⇔ x = $-\frac{b}{a}$(do a ≠ 0). 

Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất $\left(-\frac{b}{a};0\right)$ nên ∆ và trục hoành cắt nhau tại giao điểm có tọa độ $\left(-\frac{b}{a};0\right)$. 

b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(a;-1\right)$. 

Do đường thẳng ∆₀ song song hoặc trùng với ∆ nên ta chọn vectơ $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của ∆₀. 

Đường thẳng ∆₀ đi qua điểm O(0; 0) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(a;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến. 

Khi đó phương trình đường thẳng ∆₀ là: a(x – 0) – (y – 0) = 0 hay ax – y = 0 hay y = ax. 

c) Khi ∆ và ∆₀ trùng nhau thì α_∆ và α_∆0 trùng nhau nên α_∆ = α_∆0. 

Khi ∆ và ∆₀ song song thì α_∆ = α_∆0 (do hai góc ở vị trí đồng vị). 

Vậy α_∆ = α_∆0.

d) Vì M thuộc đường thẳng ∆₀ nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng ∆₀ nên khi có hoành độ x₀ thì tung độ của M là y₀ = ax₀. 

Ta có tanα_∆0 = tan∠xOM = $\frac{y_0}{x_0}=\frac{a{x}_0}{x_0}=a$ (theo định nghĩa giá trị lượng giác)

Do α_∆ = α_∆0 nên tanα_∆ = tanα_∆0 = a. 

Vậy tanα_∆ = a.