Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J

Bài 3.8 trang 55 Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J. Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Trả lời

•Vì ABCD là hình thang cân nên $\widehat{BAD}=\widehat{ABC};\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$; AD = BC; AC = BD.

Xét DICD cân tại I (vì $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$) nên IC = ID.

Suy ra IC – BC = ID – AD, hay IB = IA

Do đó I cách đều A và B nên I nằm trên đường trung trực của AB (1)

•Xét ∆ABD và ∆BAC có:

AB là cạnh chung;

$\widehat{BAD}=\widehat{ABC}$ (chứng minh trên);

AD = BC (chứng minh trên).

Do đó ∆ABD = ∆BAC (c.g.c)

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$ (hai góc tương ứng).

Tam giác JAB cân tại J (vì $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$ ) nên JA = JB

Do đó J cách đều A và B nên J nằm trên đường trung trực của AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra I, J cùng nằm trên đường thẳng IJ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2