Hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\ln x$ đạt cực trị tại điểm

D. $x = \frac{1}{e}$

Đáp án A

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f'\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right)\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.$

Cách giải:

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$

$f\left( x \right) = {x^2}\ln x \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x\ln x + {x^2}.\frac{1}{x} = 2x\ln x + x$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x\ln x + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( L \right)\\\ln x = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt e }}$

$f''\left( x \right) = 2\ln x + 2x.\frac{1}{x} + 1 = 2\ln x + 3,\,\,\, \Rightarrow f''\left( {\frac{1}{{\sqrt e }}} \right) = 2.\frac{{ - 1}}{2} + 3 = 2 > 0 \Rightarrow$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{1}{{\sqrt e }}$