Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2 log 2 (2x - 2) + log 2 (x - 3)^2 = 2 trên R. Tổng các phần tử của S bằng

A. $4+\sqrt{2}.$

B. $8+\sqrt{2}.$

C. 6

D. $6+\sqrt{2}.$

Trả lời

Chọn A

Điều kiện xác định của phương trình là $\left\{\begin{array}{l}2x-2>0\\ {\left(x-3\right)}^2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>1\\ x\ne 3\end{array}\right.$ (*)

Với điều kiện (*) phương trình $2{\log }_2\left(2x-2\right)+{\log }_2{\left(x-3\right)}^2=2$

$$\begin{gathered} \iff {\log }_2{\left(2x-2\right)}^2+{\log }_2{\left(x-3\right)}^2=2 \\ \iff {\log }_2\left[{\left(2x-2\right)}^2{\left(x-3\right)}^2\right]=2 \\ \iff {\left[\left(2x-2\right)\left(x-3\right)\right]}^2=4 \\ \iff \left[\begin{array}{l}\left(2x-2\right)\left(x-3\right)=2\\ \left(2x-2\right)\left(x-3\right)=-2\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}2x^2-8x+4=0\left(1\right)\\ 2x^2-8x+8=0\left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Phương trình (1) có các nghiệm $x=2+\sqrt{2}\left(N\right);x=2-\sqrt{2}\left(L\right)$

Phương trình (2) có nghiệm $x=2\left(N\right)$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{2+\sqrt{2};2\right\}$. Tổng các nghiệm bằng $4+\sqrt{2}$