Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\left|3x^4-m{x}^3+6x^2+m-3\right|$ đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$?

Chọn B

Đặt $f\left(x\right)=3x^4-m{x}^3+6x^2+m-3$

Do $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3x^4-m{x}^3+6x^2+m-3\right)=+\infty >0$

Nên $y=\left|f\left(x\right)\right|$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)\ge 0\\ f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\end{array}\right.,\forall x\in \left(0;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{c}f\left(0\right)\ge 0\\ f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0\end{array}\right.,\forall x\in \left(0;+\infty \right) \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m-3\ge 0\\ 12x^3-3m{x}^2+12x\ge 0\end{array}\right.,\forall x\in \left(0;+\infty \right)\iff \left\{\begin{array}{c}m\ge 3\\ m\le 4x+\frac{4}{x}\end{array}\right.,\forall x\in \left(0;+\infty \right) \\ \iff \left\{\begin{array}{c}m\ge 3\\ m\le \underset{x\in \left(0;+\infty \right)}{\min }\left(4x+\frac{4}{x}\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m\ge 3\\ m\le 8\end{array}\right.\iff 3\le m\le 8 \end{gathered}$$

Vậy $3\le m\le 8$ .