Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(x;y\right)$ thỏa mãn $0\le x\le 4000$ và $5\left({25}^y+2y\right)=x+{\log }_5{\left(x+1\right)}^5-4$?

Chọn D

Ta có: $5\left({25}^y+2y\right)=x+{\log }_5{\left(x+1\right)}^5-4\iff 5{\log }_5\left(x+1\right)+x+1=5^{2y+1}+5\left(2y+1\right)$ (1)

Đặt ${\log }_5\left(x+1\right)=t\Rightarrow x+1=5^t$

Phương trình (1) trở thành: $5t+5^t=5\left(2y+1\right)+{5^2}^{y+1}$  (2)

Xét hàm số $f\left(u\right)=5u+5^u$ trên $ℝ$

$f^{\text{'}}\left(u\right)=5+5^u\ln 5>0,\forall u\in ℝ$ nên hàm số $f\left(u\right)$ đồng biến trên $ℝ$

Do đó $\left(2\right)\iff f\left(t\right)=f\left(2y+1\right)\iff t=2y+1\Rightarrow {\log }_5\left(x+1\right)=2y+1\iff x+1=5^{2y+1}\iff x={5.25}^y-1$

Vì $0\le x\le 4000\Rightarrow 0\le {5.25}^y-1\le 4000\iff \frac{1}{5}\le {25}^y\le \frac{4001}{5}\iff \frac{-1}{2}\le y\le {\log }_{25}\frac{4001}{5}\approx 2.08$

Do , có 3 giá trị của y nên cũng có 3 giá trị của x

Vậy có 3 cặp số nguyên (x;y)