Dễ thấy m > 0

Đặt $z=a+bi;a,b\in ℝ$ ta có hệ phương trình.

$\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=1\\ {\left(a-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(b+1\right)}^2=m^2\end{array}\right.$

Phương trình $a^2+b^2=1$ là đường tròn tâm O, bán kính R = 1

Phương trình ${\left(a-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(b+1\right)}^2=m^2$ là đường tròn tâm $I\left(\sqrt{3};-1\right),$ bán kính R = m.

Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài

<=> Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=1\\ {\left(a-\sqrt{3}\right)}^2+{\left(b+1\right)}^2=m^2\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất

<=> Hai đường tròn này tiếp túc với nhau

$\iff OI=\left|m\pm 1\right|\iff \left|m\pm 1\right|=2\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=3\end{array}\right.$ (thỏa mãn m > 0).

Vậy, có hai số thực thỏa mãn.