Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi $\left|z\right|$ cho ta duy nhất một số phức z

Đặt $\left|z\right|=a\ge 0,a\in ℝ$, khi đó ta có

$$\begin{gathered} \left|z\right|\left(z-6-i\right)+2i=\left(7-i\right)z \\ \iff a\left(z-6-i\right)+2i=\left(7-i\right)z \\ \iff \left(a-7+i\right)z=6\text{a}+ai-2i \\ \iff \left(a-7+i\right)z=6\text{a}+\left(a-2\right)i \\ \iff \left|\left(a-7+i\right)\right|\left|z\right|=\left|6\text{a}+\left(a-2\right)i\right| \\ \iff \left[{\left(a-7\right)}^2+1\right]a^2=36{\text{a}}^2+{\left(a-2\right)}^3 \\ \iff a^4-14{\text{a}}^3+13{\text{a}}^2+4\text{a}-4=0\iff \left(a-1\right)\left(a^3-13{\text{a}}^2+4\right)=0. \end{gathered}$$

Hàm số $f\left(a\right)=a^3-13{\text{a}}^2\left(a\ge 0\right)$ có bảng biến thiên:

Đường thẳng y = -4 cắt đồ thị hàm số f(a) tại hai điểm nên phương trình $a^3-13{\text{a}}^2+4=0$ có hai nghiệm khác 1 (do $f\left(1\right)\ne 0$). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện.