Có bao nhiêu số phức thỏa mãn trị tuyệt đối z (z - 6 - i) + 2i = (7 - i)z ?
Có bao nhiêu số phức thỏa mãn |z|(z−6−i)+2i=(7−i)z?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
A. 2
B. 3
C. 1
D. 4
Chọn B
Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi |z| cho ta duy nhất một số phức z
Đặt |z|=a≥0,a∈ℝ, khi đó ta có
|z|(z−6−i)+2i=(7−i)z⇔a(z−6−i)+2i=(7−i)z⇔(a−7+i)z=6a+ai−2i⇔(a−7+i)z=6a+(a−2)i⇔|(a−7+i)||z|=|6a+(a−2)i|⇔[(a−7)2+1]a2=36a2+(a−2)3⇔a4−14a3+13a2+4a−4=0⇔(a−1)(a3−13a2+4)=0.
Hàm số f(a)=a3−13a2(a≥0) có bảng biến thiên:
Đường thẳng y = -4 cắt đồ thị hàm số f(a) tại hai điểm nên phương trình a3−13a2+4=0 có hai nghiệm khác 1 (do f(1)≠0). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện.