Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn $\left|z-\left(2m-1\right)-i\right|=10$ và $\left|z-1+i\right|=\left|\overline{z}-2+3i\right|?$

Giả sử $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$ và M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z

Ta có: $\left|z-\left(2m-1\right)-i\right|=10\iff {\left|z-\left(2m-1\right)-i\right|}^2=100$

$\iff {\left[x-\left(2m-1\right)\right]}^2+{\left(y-1\right)}^2=100.$

Khi đó điểm biểu diễn số phức z  nằm trên đường tròn (C) có tâm I(2m - 1;1)  bán kính R = 10

Lại có $\left|z-1+i\right|=\left|\overline{z}-2+3i\right|\iff {\left|\left(x-1\right)+\left(y+1\right)i\right|}^2={\left|\left(x-2\right)+\left(3-y\right)i\right|}^2$

$\iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2={\left(x-2\right)}^2+{\left(3-y\right)}^2\iff 2\text{x}+8y-11=0.$

Khi đó điểm biểu diễn số phức z  cũng nằm trên đường thẳng $\Delta :2x+8y-11=0$

Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng $△$ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Tức là $d\left(I,\Delta \right)<10\iff \frac{\left|2\left(2m-1\right)+8-11\right|}{\sqrt{2^2+8^2}}<10\iff \frac{5-20\sqrt{17}}{4}<m<\frac{5+20\sqrt{17}}{4}.$

Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.