Lời giải: 

Xét hàm số $y=\frac{x+m^2-2m+3}{x+1}$ trên $\left[1;2\right].$ Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-m^2+2m-2}{{\left(x+1\right)}^2}<0,\forall x\in \left[1;2\right].$

Vậy hàm số y  nghịch biến trên $\left[1;2\right].$

Suy ra $M=\underset{x\in \left[1;2\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(1\right)=\frac{m^2-2m+4}{2}$  và $m=\underset{x\in \left[1;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(2\right)=\frac{m^2-2m+5}{3}.$

Theo giả thiết $\underset{x\in \left[1;2\right]}{\min }f\left(x\right)=\frac{m^2-2m+5}{3}=\frac{{\left(m-1\right)}^2+4}{3}\ge \frac{4}{3}.$  Vậy GTNN của $\underset{x\in \left[1;2\right]}{\min }f\left(x\right)$  bằng $\frac{4}{3}$  đạt được khi m=1

Chọn đáp án B.