Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm là
D. \(m = \frac{1}{2}\)
Đáp án C
Phương pháp:
Điểm \(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\) là trọng tâm \(\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}\\{y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G}\end{array} \right.\)
Cách giải:
\(y = {x^4} - 2m{x^2} + m \Rightarrow y = 4{x^3} - 4mx,\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)
Để hàm số có 3 cực trị thì \(m > 0\). Khi đó: đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:
\(A\left( {0;m} \right),\,\,B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + m} \right),\,\,C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + m} \right)\)
Ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}\\{y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 + \left( { - \sqrt m } \right) + \sqrt m = 0\\m + \left( { - {m^2} + m} \right) + \left( {{m^2} + m} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2{m^2} + 3m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( L \right)\\m = \frac{3}{2}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(m = \frac{3}{2}\)