Chọn A

Đặt $t=\cos x,\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow t\in \left(0;1\right)$

Ta thấy hàm số $t=\cos x$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên để hàm số $y=\frac{\cos x+1}{10\cos x+m}$ đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ khi và chỉ khi hàm số $y=\frac{t+1}{10t+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(0;1\right)$

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{m-10}{{\left(10t+m\right)}^2}<0,\forall t\in \left(0;1\right)\iff m<10$

Lại có $10t+m\ne 0\iff \frac{-m}{10}\ne t\iff \left[\begin{array}{l}\frac{-m}{10}\le 0\\ \frac{-m}{10}\ge 1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m\ge 0\\ m\le -10\end{array}\right.$