Có bao nhiêu số phức z thỏa |z + 1 - 2i| = |z liên hợp + 3 + 4i| và (z - 2i)/( z liên hợp + i) là một số thuần ảo?

A.  0 

B. 1

C.  Vô số

D. 

Trả lời

Đáp án đúng là: B

Giả sử $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$, điều kiện: $\left(x,y\right)\ne \left(0;1\right)$ theo giả thiết: $\left|z+1-2i\right|=\left|\overline{z}+3+4i\right|$

$\iff \sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(x+3\right)}^2+{\left(4-y\right)}^2}$

$\iff {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={\left(x+3\right)}^2+{\left(4-y\right)}^2$

$\iff x-y+5=0\iff x=y-5$

Ta có:

$\frac{z-2i}{\overline{z}+i}=\frac{x+\left(y-2\right)i}{x+\left(1-y\right)i}=\frac{\left[x+\left(y-2\right)i\right]\left[x-\left(1-y\right)i\right]}{\left[x+\left(1-y\right)i\right]\left[x-\left(1-y\right)i\right]}$

                            $\frac{z-2i}{\overline{z}+i}=\frac{x+\left(y-2\right)i}{x+\left(1-y\right)i}=\frac{\left[x+\left(y-2\right)i\right]\left[x-\left(1-y\right)i\right]}{\left[x+\left(1-y\right)i\right]\left[x-\left(1-y\right)i\right]}$

Vì $\frac{z-2i}{\overline{z}+i}$ thuần ảo nên $x^2+\left(y-2\right)\left(1-y\right)=0\iff x^2=y^2-3y+2\left(*\right)$

Thế $x=y-5$ vào (*) ta được: ${\left(y-5\right)}^2=y^2-3y+2\iff 7y=23\iff y=\frac{23}{7}\left(**\right)$

Với $y=\frac{23}{7}\Rightarrow x=\frac{23}{7}-5=-\frac{12}{7}$.

Vậy tồn tại 1 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.