Chứng minh các đẳng thức: a) cos^4 α – sin^4 α = 2cos^2 α – 1

Bài 1.5 trang 16 Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức:

a) cos⁴ α – sin⁴ α = 2cos² α – 1;

b) $\frac{{\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1}{{\sin }^2\alpha }={\tan }^2\alpha$.

Trả lời

a) Áp dụng sin² α + cos² α = 1, suy ra sin² α = 1 – cos² α.

Ta có: VT = cos⁴ α – sin⁴ α = (cos² α)² – (sin² α)²

= (cos² α + sin² α)(cos² α – sin² α)

= 1 . (cos² α – sin² α)

= cos² α – (1 – cos² α)

= 2cos² α – 1 = VP (đpcm).

b) Áp dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.

Ta có: $VT=\frac{{\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1}{{\sin }^2\alpha }$$=\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\tan }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }-\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

$={\cot }^2\alpha +\frac{\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}{{\sin }^2\alpha }-\left(1+{\cot }^2\alpha \right)$$={\cot }^2\alpha +\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1-{\cot }^2\alpha$

$=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1=\left(1+{\tan }^2\alpha \right)-1={\tan }^2\alpha =VP$ (đpcm).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1