Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn \(2x + y = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)

Đáp án B

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} + \frac{{{c^2}}}{z} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{x + y + z}},\,\,\left( {a,b,c,x,y,z > 0} \right)\), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}\)

Cách giải:

Ta có: \(2P = \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2}{y} \ge \frac{{{{\left( {1 + 1 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{x + x + y}} = \frac{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{1} = 6 + 4\sqrt 2 \Rightarrow P \ge 3 + 2\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = 3 + 2\sqrt 2 \) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{{\sqrt 2 }}{y}\\2x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - y = 0\\2x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\\y = \sqrt 2 - 1\end{array} \right.\)