Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều BCD, M là trung điểm của CD.

          Vì tứ diện ABCD đều nên $AH\perp \left(BCD\right)$$\Rightarrow AH$ là chiều cao của tứ diện.

          Do $\Delta BCD$ đều và M là trung điểm của CD nên $BM\perp CD$.

          Xét $\Delta BMD$vuông tại M có:

                              $B{M}^2+M{D}^2=B{D}^2$ (đ/lý Pitago)

                              $\Rightarrow BM=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

          Xét $\Delta AHB$vuông tại H có:

                              $A{H}^2+B{H}^2=A{B}^2$ (đ/lý Pitago)

                              $\Rightarrow AH=\sqrt{2a^2-{\left(\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{2a^2}{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

          Thể tích tứ diện ABCD là:

                              $V=\frac{1}{3}.S_{\Delta BCD}.AH=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.BM.CD.AH=\frac{1}{6}.\frac{a\sqrt{6}}{2}.a\sqrt{2}.\frac{2a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^3}{3}$.