Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC
267
20/12/2023
Bài 73 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ, CM và NP (Hình 60). Chứng minh:
a) DE song song với AC;
b) DE = DF.
![Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M](https://vietjack.com/sbt-toan-8-cd/images/bai-73-trang-85-sbt-toan-lop-8-tap-2.PNG)
Trả lời
![Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M](https://vietjack.com/sbt-toan-8-cd/images/bai-73-trang-85-sbt-toan-lop-8-tap-2-1.PNG)
a) Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà E ∈ MQ nên EQ // NP.
Xét ∆BNP với EQ // NP, ta có BEEN=BQQP (định lí Thalès) (1)
MNPQ là hình vuông nên MQ ⊥ BC, do đó tam giác BQM vuông tại Q.
Xét ∆BQM (vuông tại Q) và ∆BAC (vuông tại A) có: ˆB là góc chung
Do đó ∆BQM ᔕ ∆BAC (g.g).
Suy ra BQBA=QMAC (tỉ số đồng dạng)
Hay BQQM=ABAC, mà QM = QP (do MNPQ là hình vuông)
Do đó BQQP=ABAC (2)
Xét ∆ABC có AD là phân giác của góc BAC nên: DBDC=ABAC (tính chất đường phân giác) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có BEEN=DBDC
Xét ∆NBC có BEEN=BDDC nên DE // NC (định lí Thalès đảo) hay DE // AC.
b) Do DE // AC (câu a) nên DECN=BDBC (hệ quả của định lí Thalès)
Do đó DE=BDBC⋅CN.
• Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà F ∈ NP nên FP // MQ.
Xét ∆MQB với FP // MQ, ta có CFFM=CPPQ (định lí Thalès) (4)
Xét ∆CPN (vuông tại P) và ∆CAB (vuông tại A) có: ˆC là góc chung
Do đó ∆CPN ᔕ ∆CAB (g.g).
Suy ra CPCA=PNAB (tỉ số đồng dạng) hay CPPN=ACAB
Mà PQ = PN (do MNPQ là hình vuông) nên CPPQ=ACAB (5)
Từ DBDC=ABAC ta có ACAB=DCDB (6)
Từ (4), (5), (6) ta có CFFM=CDDB
Xét ∆MBC có CFFM=CDDB nên DF // BM (định lí Thalès đảo) hay DF // AB.
Suy ra DFBM=CDCB (hệ quả của định lí Thalès), nên DF=CDCB⋅BM.
Mặt khác, ∆ABC với MN // BC (cùng vuông góc với MQ), ta có BMAB=CNAC (hệ quả của định lí Thalès), do đó CNBM=ACAB
Lại có BDCD=ABAC nên DEDF=BDBC⋅CNCDCB⋅BM = BDCD⋅CNBM = ABAC⋅ACAB=1.
Suy ra DE = DF.
Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác
Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác
Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác
Bài 9: Hình đồng dạng
Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn
Bài tập cuối chương 8