Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC

Bài 73 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ, CM và NP (Hình 60). Chứng minh:

a) DE song song với AC;

b) DE = DF.

Trả lời

a) Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà E ∈ MQ nên EQ // NP.

Xét ∆BNP với EQ // NP, ta có $\frac{BE}{EN}=\frac{BQ}{QP}$ (định lí Thalès) (1)

MNPQ là hình vuông nên MQ ⊥ BC, do đó tam giác BQM vuông tại Q.

Xét ∆BQM (vuông tại Q) và ∆BAC (vuông tại A) có: $\widehat{B}$ là góc chung

Do đó ∆BQM ᔕ ∆BAC (g.g).

Suy ra $\frac{BQ}{BA}=\frac{QM}{AC}$ (tỉ số đồng dạng)

Hay $\frac{BQ}{QM}=\frac{AB}{AC},$ mà QM = QP (do MNPQ là hình vuông)

Do đó $\frac{BQ}{QP}=\frac{AB}{AC}$ (2)

Xét ∆ABC có AD là phân giác của góc BAC nên: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có $\frac{BE}{EN}=\frac{DB}{DC}$

Xét ∆NBC có $\frac{BE}{EN}=\frac{BD}{DC}$ nên DE // NC (định lí Thalès đảo) hay DE // AC.

b) Do DE // AC (câu a) nên $\frac{DE}{CN}=\frac{BD}{BC}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Do đó $DE=\frac{BD}{BC}\cdot CN.$

• Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà F ∈ NP nên FP // MQ.

Xét ∆MQB với FP // MQ, ta có $\frac{CF}{FM}=\frac{CP}{PQ}$ (định lí Thalès) (4)

Xét ∆CPN (vuông tại P) và ∆CAB (vuông tại A) có: $\widehat{C}$ là góc chung

Do đó ∆CPN ᔕ ∆CAB (g.g).

Suy ra $\frac{CP}{CA}=\frac{PN}{AB}$ (tỉ số đồng dạng) hay $\frac{CP}{PN}=\frac{AC}{AB}$

Mà PQ = PN (do MNPQ là hình vuông) nên $\frac{CP}{PQ}=\frac{AC}{AB}$ (5)

Từ $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ ta có $\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{DB}$ (6)

Từ (4), (5), (6) ta có $\frac{CF}{FM}=\frac{CD}{DB}$

Xét ∆MBC có $\frac{CF}{FM}=\frac{CD}{DB}$ nên DF // BM (định lí Thalès đảo) hay DF // AB.

Suy ra $\frac{DF}{BM}=\frac{CD}{CB}$ (hệ quả của định lí Thalès), nên $DF=\frac{CD}{CB}\cdot BM$.

Mặt khác, ∆ABC với MN // BC (cùng vuông góc với MQ), ta có $\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}$ (hệ quả của định lí Thalès), do đó $\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$

Lại có $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$ nên $\frac{DE}{DF}=\frac{\frac{BD}{BC}\cdot CN}{\frac{CD}{CB}\cdot BM}$ = $\frac{BD}{CD}\cdot \frac{CN}{BM}$ = $\frac{AB}{AC}\cdot \frac{AC}{AB}=1.$

Suy ra DE = DF.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 9: Hình đồng dạng

Bài 10: Hình đồng dạng trong thực tiễn

Bài tập cuối chương 8