Cho tam giác ABC có góc B > góc C. Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D. Chứng minh góc ADB < góc ADC

Bài 5 trang 92 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\widehat{B}>\widehat{C}.$ Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D.

a) Chứng minh $\widehat{A\text{D}B}<\widehat{A\text{D}C}$.

b) Kẻ tia Dx nằm trong góc ADC sao cho $\widehat{A\text{Dx}}=\widehat{A\text{D}B}$. Giả sử tia Dx cắt cạnh AC tại điểm E. Chứng minh: $∆$ABD = $∆$AED, AB < AC.

Trả lời

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Xét tam giác ABD có: $\widehat{A\text{DC}}$ là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác nên $\widehat{A\text{D}C}=\widehat{BAD}+\widehat{B}$.

Xét tam giác ABD có: $\widehat{A\text{D}C}$ là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác nên $\widehat{ADB}=\widehat{CAD}+\widehat{C}$.

Mà AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (giả thiết) nên $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Lại có $\widehat{B}>\widehat{C}$ (giả thiết) nên $\widehat{BAD}+\widehat{B}>\widehat{CAD}+\widehat{\text{C}}$ hay $\widehat{A\text{D}C}>\widehat{A\text{D}B}$.

Vậy $\widehat{A\text{D}B}<\widehat{A\text{D}C}$

b) Xét $∆$ABD và $∆$AED có:

$\widehat{BAD}=\widehat{EAD}$ (chứng minh trên),

AD chung,

$\widehat{A\text{D}B}=\widehat{A\text{D}E}$ (giả thiết).

Suy ra $∆$ABD = $∆$AED (g.c.g).

Vậy $∆$ABD = $∆$AED.

* Chứng minh AB < AC:

Cách 1:

Vì $∆$ABD = $∆$AED (chứng minh trên) nên AB = AE (hai cạnh tương ứng)

Mà AE < AC (do điểm E nằm trên cạnh AC)

Nên AB < AC.

Vậy AB < AC.

Cách 2: Xét tam giác ABC có $\widehat{B}>\widehat{C}$ (giả thiết)

Mà cạnh AB đối diện với góc C, cạnh AC đối diện với góc C

Do đó AC > AB.

Vậy AB < AC.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh – cạnh – cạnh

Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh

Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

Bài 7: Tam giác cân

Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng