Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG

Bài 3 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:

a) GA = GD;

b) $∆$MBG = $∆$MCD;

c) CD = 2GN.

Trả lời

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GM = $\frac{1}{2}$GA (tính chất trọng tâm của tam giác).

Điểm D nằm trên tia đối của tia MA và MD = MG (giả thiết) nên M là trung điểm của GD.

Suy ra GM = $\frac{1}{2}$GD.

Do đó GA = GD.

Vậy GA = GD.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét $∆$MBG và $∆$MDC có:

MB = MC (giả thiết),

$\widehat{GMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh),

MG = MD (chứng minh trên),

Do đó $∆$MBG = $∆$MDC (c.g.c).

c) Vì $∆$MBG = $∆$MDC (chứng minh câu b) nên CD = BG (hai cạnh tương ứng).

Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Do đó CD = 2GN.

Vậy CD = 2GN.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác