Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh: BM = CN

Bài 2 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a) BM = CN;

b) $∆$GBC cân tại G.

Trả lời

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC (1).

Do BM đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC do đó $AM=MC=\frac{1}{2}AC$  (2)

CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên N là trung điểm của AB do đó $AN=NB=\frac{1}{2}AB$  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: AM = AN.

Xét $∆$ABM và $∆$ACN có:

AM = AN (chứng minh trên).

$\widehat{A}$ là góc chung,

AB = AC (chứng minh trên)

Do đó $∆$ABM = $∆$ACN (c.g.c)

Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).

Vậy BM = CN.

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra BG = $\frac{2}{3}$BM; CG = $\frac{2}{3}$CN (tính chất trọng tâm của tam giác).

Mà BM = CN (chứng minh câu a)

Do đó BG = CG.

Tam giác GBC có BG = CG nên tam giác GBC cân tại G.

Vậy $∆$GBC cân tại G.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác