Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh: BM = CN
Bài 2 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:
a) BM = CN;
b) GBC cân tại G.
Bài 2 trang 107 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:
a) BM = CN;
b) GBC cân tại G.
GT |
ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G |
KL |
a) BM = CN; b) GBC cân tại G. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC (1).
Do BM đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC do đó (2)
CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên N là trung điểm của AB do đó (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: AM = AN.
Xét ABM và ACN có:
AM = AN (chứng minh trên).
là góc chung,
AB = AC (chứng minh trên)
Do đó ABM = ACN (c.g.c)
Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).
Vậy BM = CN.
b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Suy ra BG = BM; CG = CN (tính chất trọng tâm của tam giác).
Mà BM = CN (chứng minh câu a)
Do đó BG = CG.
Tam giác GBC có BG = CG nên tam giác GBC cân tại G.
Vậy GBC cân tại G.
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên
Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng
Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác